在工程力學(xué)與材料科學(xué)領(lǐng)域，應(yīng)力松弛是一個(gè)描述材料在恒定應(yīng)變條件下，內(nèi)部應(yīng)力隨時(shí)間逐漸衰減的重要現(xiàn)象。這一現(xiàn)象在橡膠、聚合物、生物組織等黏彈性材料的分析中尤為關(guān)鍵。Abaqus 作為功能強(qiáng)大的有限元分析軟件，提供了完善的工具來模擬和分析應(yīng)力松弛行為，幫助工程師和科研人員準(zhǔn)確預(yù)測材料在實(shí)際工況下的力學(xué)響應(yīng)。本文將詳細(xì)介紹 Abaqus 中應(yīng)力松弛的概念、理論基礎(chǔ)、模擬方法及應(yīng)用場景。

 

一、應(yīng)力松弛的基本概念與物理本質(zhì)

（一）應(yīng)力松弛的定義

應(yīng)力松弛是指材料在保持應(yīng)變不變的情況下，其內(nèi)部應(yīng)力隨時(shí)間延長而逐漸減小的現(xiàn)象。通俗地說，當(dāng)對(duì)一塊黏彈性材料施加一個(gè)固定的變形并保持該變形不變時(shí)，材料內(nèi)部抵抗變形的應(yīng)力會(huì)隨著時(shí)間的推移而逐漸降低，就像材料 “放松” 了一樣。這種現(xiàn)象與材料的黏性和彈性特性密切相關(guān)，是黏彈性材料區(qū)別于完全彈性材料的重要特征之一。

 

（二）應(yīng)力松弛與蠕變的區(qū)別與聯(lián)系

l應(yīng)力松弛和蠕變是黏彈性材料表現(xiàn)出的兩種典型時(shí)間相關(guān)行為，二者既有聯(lián)系又有區(qū)別：

l蠕變：是指材料在恒定應(yīng)力作用下，應(yīng)變隨時(shí)間逐漸增加的現(xiàn)象。例如，懸掛重物的塑料繩會(huì)隨著時(shí)間的推移逐漸伸長。

 

應(yīng)力松弛：是在恒定應(yīng)變下應(yīng)力的衰減。例如，用橡皮筋捆扎物品，一段時(shí)間后會(huì)感覺橡皮筋變松，這就是應(yīng)力松弛的結(jié)果。

 

二者的本質(zhì)都源于材料內(nèi)部分子鏈的運(yùn)動(dòng)和重排。在蠕變中，分子鏈在應(yīng)力作用下逐漸伸展；在應(yīng)力松弛中，分子鏈在應(yīng)變保持不變的情況下通過熱運(yùn)動(dòng)逐漸調(diào)整構(gòu)象，從而導(dǎo)致應(yīng)力降低。

 

（三）應(yīng)力松弛的物理機(jī)制

應(yīng)力松弛的物理機(jī)制可以從材料的微觀結(jié)構(gòu)來解釋。對(duì)于黏彈性材料，其力學(xué)行為可以看作是彈性元件（彈簧）和黏性元件（阻尼器）的組合。當(dāng)材料受到應(yīng)變作用時(shí)，彈性元件立即產(chǎn)生應(yīng)力，而黏性元件則允許分子鏈緩慢滑動(dòng)和重排。隨著時(shí)間的推移，黏性元件的作用逐漸顯現(xiàn)，分子鏈的重排使得彈性元件的變形逐漸被 “釋放”，從而導(dǎo)致應(yīng)力逐漸降低。

 

以橡膠材料為例，當(dāng)橡膠被拉伸并保持伸長狀態(tài)時(shí)，橡膠分子鏈被拉長，產(chǎn)生彈性應(yīng)力。但由于橡膠分子鏈具有一定的活動(dòng)性，在溫度和時(shí)間的作用下，分子鏈會(huì)通過熱運(yùn)動(dòng)逐漸調(diào)整到更穩(wěn)定的狀態(tài)，使得內(nèi)部應(yīng)力逐漸松弛。

 

二、Abaqus 中應(yīng)力松弛的理論基礎(chǔ)與材料模型

（一）黏彈性本構(gòu)模型

Abaqus 中模擬應(yīng)力松弛的理論基礎(chǔ)是黏彈性本構(gòu)模型，這類模型通過將彈性元件和黏性元件進(jìn)行組合，來描述材料的時(shí)間相關(guān)行為。常用的黏彈性模型包括：

 

1. Maxwell 模型

Maxwell 模型由一個(gè)彈簧和一個(gè)阻尼器串聯(lián)組成。在恒定應(yīng)變下，彈簧立即產(chǎn)生應(yīng)力，而阻尼器則以一定的速率釋放應(yīng)力，從而模擬應(yīng)力松弛現(xiàn)象。該模型的應(yīng)力松弛函數(shù)為指數(shù)形式，適用于描述某些簡單黏彈性材料的松弛行為。

 

2. Kelvin-Voigt 模型

Kelvin-Voigt 模型由彈簧和阻尼器并聯(lián)組成。該模型在恒定應(yīng)變下，應(yīng)力會(huì)隨著時(shí)間逐漸衰減，但其松弛行為與 Maxwell 模型有所不同。Kelvin-Voigt 模型更適合描述材料的蠕變行為，而在應(yīng)力松弛模擬中應(yīng)用相對(duì)較少。

 

3. 廣義 Maxwell 模型（Prony 級(jí)數(shù)）

廣義 Maxwell 模型是 Abaqus 中模擬應(yīng)力松弛的常用模型，它由多個(gè) Maxwell 單元并聯(lián)組成，每個(gè)單元具有不同的松弛時(shí)間和模量。通過調(diào)整各個(gè)單元的參數(shù)，可以更準(zhǔn)確地?cái)M合實(shí)際材料的應(yīng)力松弛曲線。Abaqus 中使用 Prony 級(jí)數(shù)來表示廣義 Maxwell 模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

 

 

 

（二）Abaqus 中的材料定義

在 Abaqus 中定義能夠模擬應(yīng)力松弛的黏彈性材料時(shí)，需要以下關(guān)鍵參數(shù)：

 

1. 彈性參數(shù)

首先需要定義材料的彈性屬性，如彈性模量（楊氏模量或剪切模量）和泊松比，這決定了材料的瞬時(shí)彈性響應(yīng)。

 

2. 黏彈性參數(shù)（Prony 級(jí)數(shù)）

需要輸入 Prony 級(jí)數(shù)的各項(xiàng)參數(shù)，包括松弛時(shí)間(tau_i)和對(duì)應(yīng)的模量權(quán)重因子(g_i)。這些參數(shù)通常通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（如應(yīng)力松弛試驗(yàn)或動(dòng)態(tài)力學(xué)分析 DMA）獲得。Abaqus 中還提供了一些默認(rèn)材料模型，如橡膠材料的黏彈性參數(shù)，可以作為參考。

 

3. 溫度依賴性（如有需要）

對(duì)于溫度敏感的材料，還需要定義黏彈性參數(shù)隨溫度的變化關(guān)系，Abaqus 支持通過 Arrhenius 方程或時(shí)溫等效原理（WLF 方程）來描述這種溫度依賴性。

 

（三）應(yīng)力松弛與時(shí)間 - 溫度等效原理

在 Abaqus 中，時(shí)間 - 溫度等效原理（TTSP）是處理黏彈性材料在不同溫度下應(yīng)力松弛行為的重要工具。該原理認(rèn)為，溫度的變化對(duì)黏彈性材料的影響可以通過等效地改變時(shí)間尺度來體現(xiàn)。也就是說，高溫下短時(shí)間內(nèi)的應(yīng)力松弛行為可以等效于低溫下長時(shí)間的應(yīng)力松弛行為。

 

通過 TTSP，我們可以將不同溫度下的應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到一個(gè)參考溫度下，從而獲得材料在較寬溫度范圍內(nèi)的應(yīng)力松弛特性，這對(duì)于模擬實(shí)際工程中溫度變化條件下的材料行為非常有用。Abaqus 中可以通過定義 Shift Factor（移位因子）來實(shí)現(xiàn)時(shí)間 - 溫度等效轉(zhuǎn)換。

 

三、Abaqus 中應(yīng)力松弛的分析步驟與求解設(shè)置

（一）建立有限元模型

在 Abaqus 中進(jìn)行應(yīng)力松弛分析，首先需要建立準(zhǔn)確的有限元模型，包括：

1. 幾何建模

根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)建幾何模型，確保幾何形狀能夠準(zhǔn)確反映分析對(duì)象的特征。對(duì)于復(fù)雜幾何，可以使用 Abaqus 的建模工具或?qū)胪獠?CAD 模型。

 

2. 材料定義

按照前文所述，定義材料的彈性屬性和黏彈性參數(shù)（Prony 級(jí)數(shù)）。如果需要考慮溫度影響，還需定義溫度相關(guān)的參數(shù)。

 

3. 網(wǎng)格劃分

合理劃分網(wǎng)格，確保在應(yīng)力梯度較大的區(qū)域（如應(yīng)力集中處）有足夠的網(wǎng)格密度，以保證計(jì)算精度。同時(shí)，要注意網(wǎng)格質(zhì)量，避免出現(xiàn)畸變單元。

 

（二）設(shè)置分析步與邊界條件

1. 分析步設(shè)置

在 Abaqus 中，應(yīng)力松弛分析通常分為兩個(gè)分析步：

第一步：施加應(yīng)變：在該分析步中，對(duì)模型施加所需的恒定應(yīng)變，可以通過位移約束或其他方式實(shí)現(xiàn)。

第二步：應(yīng)力松弛：在該分析步中，保持應(yīng)變不變，讓模型進(jìn)行應(yīng)力松弛，分析時(shí)間根據(jù)需要的松弛時(shí)長確定。

 

2. 邊界條件與載荷

在第一步中，施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和位移載荷，以實(shí)現(xiàn)所需的恒定應(yīng)變。

在第二步中，確保邊界條件保持不變，即維持第一步施加的應(yīng)變。

 

（三）求解器設(shè)置與計(jì)算

1. 求解器選擇

Abaqus 提供了隱式求解器（Abaqus/Standard）和顯式求解器（Abaqus/Explicit）。對(duì)于應(yīng)力松弛分析，由于涉及到時(shí)間積分和黏彈性材料的復(fù)雜行為，通常使用隱式求解器（Abaqus/Standard），它能夠更準(zhǔn)確地處理這類準(zhǔn)靜態(tài)、時(shí)間相關(guān)的問題。

 

2. 輸出設(shè)置

為了獲取應(yīng)力松弛過程中的應(yīng)力變化，需要設(shè)置合適的輸出請(qǐng)求，包括：

l應(yīng)力分量隨時(shí)間的變化

l關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)或單元的應(yīng)力歷史

l可以輸出應(yīng)力松弛曲線，即應(yīng)力隨時(shí)間的變化曲線

 

（四）結(jié)果分析與可視化

計(jì)算完成后，通過 Abaqus 的后處理模塊（Abaqus/Viewer）可以查看和分析應(yīng)力松弛結(jié)果：

l繪制應(yīng)力松弛曲線，直觀顯示應(yīng)力隨時(shí)間的衰減趨勢

l查看不同時(shí)刻的應(yīng)力分布云圖，了解應(yīng)力在模型中的分布和變化

l提取關(guān)鍵位置的應(yīng)力數(shù)據(jù)，進(jìn)行定量分析

l將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性

 

應(yīng)力松弛是黏彈性材料的重要力學(xué)行為，在 Abaqus 中進(jìn)行應(yīng)力松弛模擬對(duì)于準(zhǔn)確預(yù)測材料和結(jié)構(gòu)的長期性能具有重要意義。通過本文的介紹，我們了解了應(yīng)力松弛的基本概念、Abaqus 中的理論基礎(chǔ)、分析步驟、應(yīng)用場景以及常見問題的解決策略。

 

隨著材料科學(xué)和工程技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)材料時(shí)間相關(guān)行為的模擬需求將越來越大。Abaqus 作為先進(jìn)的有限元分析軟件，也在不斷完善其黏彈性材料模擬功能，未來可能會(huì)引入更復(fù)雜、更準(zhǔn)確的本構(gòu)模型，以及更高效的求解算法，以滿足工程實(shí)踐中日益增長的需求。

 

對(duì)于工程師和科研人員來說，深入理解應(yīng)力松弛現(xiàn)象及其在 Abaqus 中的模擬方法，將有助于更好地設(shè)計(jì)和優(yōu)化黏彈性材料構(gòu)件，提高產(chǎn)品的可靠性和使用壽命，推動(dòng)相關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)進(jìn)步。